Mathématiques ED C

Mathématiques ED C

Intégration numérique

Il existe de nombreuses méthodes pour réaliser une intégration numérique. Nous allons considérer ici quelques méthodes simples. Ceux qui souhaiteraient aller plus loin peuvent consulter par exemple Pratique de la simulation numérique de Bijan Mohammadi et Jacques Hervé Saïac, Dunod (2003).

Vous avez 3h pour réaliser ce travail (7h45-10h45 ou 13h30-16h30). À l’issue de ce temps, vous présenterez un bilan de vos travaux et de vos résultats pendant 10 min maximum. S’en suivront 10 min de questions. L’ensemble sera évalué par une note attribuée à la totalité du sous-groupe. La totalité des supports présentés seront exclusivement manuscrits (pas de diaporama ni d’impressions informatiques) au format A5 paysage.

Critères d’évaluation : fond (rigueur scientifique, résultats, etc.), forme (supports, prestation, etc.) et analyse (problématique, plan, etc.)

Introduction

L’ensemble de ce sujet est écrit pour être appliqué au logiciel Microsoft Excel.

Q0.1. À l’aide du cours de mathématiques, rappelez le principe des méthodes des rectangles et des trapèzes dans le but de réaliser des intégrations numériques.

Q0.2. Existe-t-il d’autres méthodes numériques?

Q0.3. Quels sont les avantages et les inconvénients de chacune des méthodes?

Validation analytique

Considérons la fonction :

f(x)=\sin (\pi x)

Et l’intégrale suivante :

A=\displaystyle \int_0^1 f(x)~dx=\displaystyle \int_0^1 \sin (\pi x)~dx

Q1. Déterminer analytiquement la valeur de A.

Q2. Sur un tableur Excel, calculer l’intégrale A à l’aide de la méthode des rectangles et de la méthode des trapèzes.

Applications

Cœur

Considérons les fonctions suivantes :

g_1(x)=\left[ \dfrac{x}{2}\right]^{2/3}+\left[ 4-\left[ \dfrac{x}{2}\right]^{2}\right]^{1/2}+2

et

g_2(x)=\left[ \dfrac{x}{2}\right]^{2/3}-\left[ 4-\left[ \dfrac{x}{2}\right]^{2}\right]^{1/2}+2

Soit B l’intégrale définie par :

B=\displaystyle \int_0^4 g_1(x)~dx-\int_0^4 g_2(x)~dx

Q3. Calculer B à l’aide d’un tableur Excel

Cœur paramétrique

Considérons la fonction paramétrique suivante :

h ~\displaystyle \left\lbrace \begin{array}{l@{~=~}l} x&t~\pi ^{-1}~\sin t\\ y&t~\pi ^{-1}~\cos t+1 \end{array}\right.

Nous allons chercher à calculer l’intégrale de cette fonction h

Q4. Sur un tableur Excel, remplissez les 200 premières lignes de 0 à PI() et servez-vous des colonnes 2 et 3 pour calculer les valeurs correspondantes de x et y données par la fonction h.

Q5. Tracer la courbe associées à cette fonction paramétrique.

Q6. Calculer la surface de la figure obtenue.

Poisson

Considérons la fonction paramétrique suivante :

p ~\displaystyle \left\lbrace \begin{array}{l@{~=~}l} x&\cos t +0.9~\pi ~\cos \left( t/2\right) \\ y&\sin t +2 \end{array}\right.

Q7. En procédant par morceaux, calculer la surface de la figure obtenue.

NB. 0 \leq t \leq 4~\pi