Rayonnement thermique - Thibaud MARCEL-MATHEY

Le rayonnement thermique est l’un des trois modes de transfert de chaleur. Contrairement à la convection et la conduction, il ne nécessite pas de matière pour être transféré, et peut donc transporter de la chaleur à travers le vide.

TABLE DES MATIÈRES

Nature de la lumière

L’indice optique (ou indice de réfraction) d’un milieu est le rapport entre la célérité de la lumière dans le vide $c=300000~\mbox{km.s}^{-1}$ et la vitesse de la lumière dans le milieu $V$

$n=\dfrac{c}{V}~~~~~n=1$ dans le vide et $n=1,33$ dans l’eau.

Une onde monochromatique (c’est-à-dire, de fréquence donnée) possède une longue d’onde notée $\lambda$

La longueur d’onde est donnée par la formule

$\lambda =\dfrac{V}{\nu }~~~~~\mbox{avec} \nu$ (« nu ») la fréquence de l’onde

La longueur d’onde est donc dépendante de l’indice optique $n$

$\lambda =\dfrac{c}{n~\nu }$

L’indice optique dépend lui aussi de la fréquence, ce qui explique qu’un faisceau de lumière puisse être décomposé par un prisme

Le visible commence vers $400~\mbox{nm}$ et se termine vers $700~\mbox{nm}$

Le domaine radiatif est souvent séparé en deux catégories

le domaine visible, pour les courtes longueurs d’ondes (CLO)
le domaine infrarouge, pour les grandes longueurs d’ondes (GLO)
sauf exception (projet ITER par exemple), le reste du spectre est négligeable d’un point de vue thermique

Un photon de fréquence $\nu$ possède une énergie

$E=h~\nu ~~~~~\mbox{avec}~h=6,626.10^{-34}~\mbox{J.s}$ la constance de Planck

Angle solide

Dans le plan, la valeur d’un angle est définie par

$\theta=k\dfrac{s}{r}$

avec

$s~~~~~$ la longueur de l’arc de rayon $r$
$k=1~~~~~\mbox{si} \theta$ est en radians
$k=180 / \pi ~~~~~\mbox{si} \theta$ est en degrés

Dans l’espace, la valeur d’un angle solide est définie par

$\Omega = \dfrac{A}{r^2}~~~~~\mbox{avec}~ A$ la surface sur la sphère de rayon $r$

$\Omega$ se mesure en stéradian [sr].

Radiométrie

Luminance

La luminance (ou radiance) représente la manière dont sera perçue la lumière émise par une surface donnée lorsqu’on vise cette surface sous n’importe quel angle de vue. Ici, l’angle solide $d\Omega$ est celui sous lequel on est vu depuis la surface émettrice ( $d^2 S$ est notre « oeil »).

On considère le demi-espace face à une surface solide

$\theta$ est l’angle polaire (ou zénital)
$\varphi$ est l’angle azimutal ( $\neq \Phi$ le flux)

$d^2~S=d\theta \times d\varphi ~\sin \theta$

En effet, la « largeur » $\left( \sin \theta ~d\varphi \right)$ vaut bien $0$ lorsque $\theta =0$ , et $d\varphi$ lorsque $\theta = \pi /2$ .

La luminance monochromatique en un point $M$ d’un plan émetteur dans la direction $\vec{D}$ notée $L_{\lambda }\left( M, \vec{D}\right)$ est

le flux monochromatique $d^5 \Phi$ perçu par une surface élémentaire $d^2 S$ (orthogonale à $\vec{D}$ )
dans l’angle solide $d^2 \Omega$ autour de $\vec{D}$
par unité de longueur d’onde ( $d\lambda$ )
par unité de surface apparente ( $\cos \theta$ )

$L_{\lambda }\left( M, \vec{D}\right) =\dfrac{d^5 \Phi}{d^2S~d^2\Omega ~d\lambda ~\cos \theta }$

La luminance dépend rarement de $\varphi$ , mais elle dépend fortement de l’angle $\theta$ . La variation est représentée par une indicatrice de luminance.

Un émetteur est dit Lambertien (ou orthotrope) est une émetteur dont la luminance est identique dans toutes les directions.

$L_{\lambda }\left( \theta , \varphi \right) = L_{\lambda }$

Un émetteur Lambertien paraît « uniformément brillant » ; l’impression de volume disparaît.

Lambertien est différent d’isotrope ; un émetteur isotrope est un émetteur qui envoie la même énergie dans toutes les directions.

Émittance

L’émittance (ou exitance) monochromatique en un point $M$ d’une surface émettrice désigne le flux monochromatique rayonné dans toutes les direction par unité de surface

$M_{\lambda }(M)=\dfrac{d^3 \Phi }{d^2S~d\lambda }=\displaystyle \iint_{\Omega } ~L_{\lambda }\left( M, \vec{D}\right)~\cos \theta ~d^2\Omega$

Pour un émetteur Lambertien

$M_{\lambda }(M)=\pi ~L_{\lambda }(M)$

Corps noir

Un corps noir est un corps idéal dont la surface absorbe la totalité du rayonnement qu’elle reçoit. C’est donc un corps dont la surface ne réfléchit aucun rayonnement.

Le corps noir émet de l’énergie sous forme de rayonnement ; l’énergie émise à une longueur d’onde $\lambda$ donnée ne dépend que de la température du corps.

En radiométrie, les notations relatives au corps noir sont dotées d’un $\cdot ^{\circ }$ .

Le corps noir est Lambertien

$L^{\circ }_{\lambda }\left( \theta , \varphi \right) = L^{\circ }_{\lambda }$

Les outils de la physique statistique permettent d’établir la luminance du corps noir à l’équilibre thermique ; c’est la loi de Planck

$L^{\circ }_{\lambda }=\dfrac{C_1~\lambda ^{-5}}{\exp \left[ C_2 /\left( \lambda ~T\right) \right] -1}$

$C_1=2~h~c^2=1,19088.10^{-16}~\mbox{W.m}^2\mbox{.sr}^{-1}$
$C_2=h~c/k=1,4388.10^{-2}~\mbox{K.m}$

La loi de Wien donne la longueur d’onde du maximum de luminance sur l’ensemble du spectre (sur l’ensemble des longueurs d’ondes $\lambda$ ) pour un corps noir de température $T$

Dans les unités du Système International, la version simplifiée de la loi de Wien s’écrit :

$\lambda = \dfrac{2,893.10^{-3}}{T}$

L’émittance totale du corps suit la loi de Stefan-Boltzmann

$M^{\circ }\left( T\right) =\displaystyle\int_{\lambda }~M^{\circ }_{\lambda }\left( T\right) d\lambda =\pi ~\displaystyle\int_{\lambda }~L^{\circ }_{\lambda }\left( T\right) d\lambda = \sigma ~T^4$

avec $\sigma = 5,67.10^{-8}~\mbox{W.m}^{-2}\mbox{K}^{-4}$

Émissivité et corps gris

L’émissivité monochromatique $\varepsilon$ (ou coefficient d’émission) mesure le rapport entre l’énergie émise par la surface d’un corps réel et l’énergie émise par la surface d’un corps noir à la même température, pour une longueur d’onde donnée

$\varepsilon _{\lambda }=\dfrac{M_{\lambda }\left( T\right) }{M^{\circ }_{\lambda }\left( T\right) }$

Le corps noir étant un émetteur idéal

$0 \leq \varepsilon _{\lambda } \leq 1$

Un corps gris est un corps d’émissivité constante, quelque soit la longueur d’onde. Pour ce type de corps, l’émittance totale est donnée par

$M=\varepsilon ~M^{\circ }_{\lambda }\left( T\right) = \varepsilon ~\sigma ~T^4$

Flamme et rayonnement

Une flamme de bougie est fortement lumineuse et de couleur jaune alors qu’une flemme de bec Bunsen correctement réglé est faiblement lumineuse et de couleur bleue.

La flamme de la bougie contient beaucoup de suies qui rayonnent comme un corps noir. La couleur de la flamme est un bon indicateur de sa température.

À l’inverse, la flamme du bec Bunsen correctement réglé contient très peu de suies. Dès lors, il ne s’agit plus du rayonnement d’un corps solide et la théorie ci-dessus ne s’applique plus.