Différence de température logarithmique moyenne

Un échangeur de chaleur est un appareil destiné à transmettre de la chaleur d’un fluide à un autre. C’est un quadripôle thermique ; il dispose de 2 entrées et de 2 sorties.

TABLE DES MATIÈRES

Notations

Températures

$\theta _{ec}$ : température entrée chaude (entrée du fluide chaud)
$\theta _{sc}$ : température sortie chaude
$\theta _{ef}$ : température entrée froide
$\theta _{sf}$ : température sortie froide
$\theta _{\infty }$ : temp. de sortie de l’échangeur co-courant infiniment long
$\Delta T _{LM }$ : différence de température logarithmique moyenne

Autres

$S_p$ : section de passage
$S_e$ : surface d’échange
$L$ : longueur de l’échangeur
$q _{m}$ : débit massique
$q _{v}$ : débit volumique
$c _{p}$ : capacité thermique massique
$q _{t}$ : débit thermique
$\Phi$ : flux de chaleur
$k$ : coefficient d’échange global de l’échangeur (peut également se noter $U$ )
$E$ : efficacité de l’échangeur
$R$ : facteur de déséquilibre

Profils de température

Le débit thermique $q _{t}$ en [J/(K.s)] peut influencer l’évolution du profil de température, et se définit par :

$q _{t}=q_m~c_p$

La température de sortie de l’échangeur infiniment long (co-courant uniquement) est donnée par :

$\theta _{\infty } = \dfrac{\left( q_m~c_p\right) _c~\theta _{ec}+\left( q_m~c_p\right) _f~\theta _{ef}}{\left( q_m~c_p\right) _c+\left( q_m~c_p\right) _f}=\dfrac{\left( q_t\right) _c~\theta _{ec}+\left( q_t\right) _f~\theta _{ef}}{\left( q_t\right) _c+\left( q_t\right) _fe}$

Flux de chaleurs

pas de pertes de chaleurs avec l’extérieur
régime stationnaire
coefficient $k$ constant tout au long de l’échangeur

$\begin{array}{l@{~}l} \Phi & = -\left( q_t\right) _c ~\left( \theta {sc} - \theta {ec} \right)\\ ~ & =\left( q_t\right) _f ~\left( \theta {sf} - \theta {ef} \right) \\ ~ & =k~S_e~\Delta T_{LM}\end{array}$

Démonstration

Échangeurs à co-courant

pas de pertes de chaleurs avec l’extérieur
régime stationnaire
coefficient $k$ constant tout au long de l’échangeur

Bilan enthalpique infinitésimal sur une tranche de l’échangeur :

$\begin{array}{l}\mathrm{d} \Phi = - \left( q_m~c_p\right) _c ~\mathrm{d} \theta _c = \left( q_m~c_p\right) _f ~\mathrm{d} \theta _f \\ \mathrm{d} \Phi = k~\mathrm{d}S_e~\left( \theta _c - \theta _f\right) \\\end{array}$

D’où :

$\mathrm{d} \theta _c - \mathrm{d} \theta _f=\mathrm{d} \left( \theta _c - \theta _f\right) = - \left[ \dfrac{1}{\left( q_m~c_p\right) _c}+\dfrac{1}{\left( q_m~c_p\right) _f}\right] \mathrm{d} \Phi$

$\mathrm{d} \left( \theta _c - \theta _f\right) = - \left[ \dfrac{1}{\left( q_m~c_p\right) _c}+\dfrac{1}{\left( q_m~c_p\right) _f}\right] k~\mathrm{d}S_e~\left( \theta _c - \theta _f\right)$

$\dfrac{\mathrm{d} \left( \theta _c - \theta _f\right) }{\theta _c - \theta _f} = - \left[ \dfrac{1}{\left( q_m~c_p\right) _c}+\dfrac{1}{\left( q_m~c_p\right) _f}\right] k~\mathrm{d}S_e$

En intégrant sur la surface de l’échangeur :

$\displaystyle \left[ \ln \left( \theta _c - \theta _f\right) \right] _{S=0}^{S=S_e} = - \left[ \dfrac{1}{\left( q_m~c_p\right) _c}+\dfrac{1}{\left( q_m~c_p\right) _f}\right] k~\mathrm{d}S_e$

Pour un échangeur co-courant :

à l’entrée ( $x=0$ ), $\theta _c - \theta _f = \theta _{ec} - \theta _{ef}$
à la sortie ( $x=L$ ), $\theta _c - \theta _f = \theta _{sc} - \theta _{sf}$

$\ln \left( \dfrac{\theta {sc} - \theta {sf}}{\theta {ec} - \theta {ef}}\right) = - \left[ \dfrac{1}{\left( q_m~c_p\right) _c}+\dfrac{1}{\left( q_m~c_p\right) _f}\right] k~\mathrm{d}S_e$

Bilan enthalpique global :

$\Phi = \left( q_m~c_p\right) _c~\left( \theta _{ec} - \theta _{cs}\right) =\left( q_m~c_p\right) _f~\left( \theta _{sf} - \theta _{ef}\right)$

D’où :

$\ln \left( \dfrac{\theta _{sc} - \theta _{sf}}{\theta _{ec} - \theta _{ef}}\right) = \left[ \left( \theta _{sc} - \theta _{sf}\right) -\left( \theta _{ec} - \theta _{ef}\right) \right] \dfrac{k~S_e}{\Phi }$

Finalement :

$\Phi =k~S_e~\Delta T_{LM}$

Avec :

$\Delta T_{LM}=\dfrac{\left( \theta _{sc}-\theta _{sf}\right) -\left( \theta _{ec}-\theta _{ef}\right) }{\ln \left( \dfrac{\theta _{sc}-\theta _{sf}}{\theta _{ec}-\theta _{ef}}\right) }$

Échangeurs à contre-courant

Cette fois-ci, la variation de température du fluide froid dans le sens de l’augmentation de la surface d’échange (de $0 \rightarrow L$ ) devient négative.

Bilan enthalpique infinitésimal sur l’échangeur contre-courant :

$\mathrm{d} \Phi = - \left( q_m~c_p\right) _c ~\mathrm{d} \theta _c = \left( q_m~c_p\right) _f ~\mathrm{d} \theta _f$

Le flux thermique total échangé devient :

$\Phi =k~S_e~\Delta T_{LM}$

Avec :

$\Delta T_{LM}=\dfrac{\left( \theta _{ec}-\theta _{sf}\right) -\left( \theta _{sc}-\theta _{ef}\right) }{\ln \left( \dfrac{\theta _{ec}-\theta _{sf}}{\theta _{sc}-\theta _{ef}}\right) }$

Bilan

Ainsi :

$\Delta T_{LM}=\dfrac{ \Delta \theta _a- \Delta \theta _b }{\ln \left( \dfrac{ \Delta \theta _a}{ \Delta \theta _b}\right) }$

Les expressions des différences de température logarithmique moyenne peuvent s’écrire de la même façon en définissant des différences de température aux bornes de l’échangeur :

$\Delta \theta _a$ à l’entrée de l’échangeur ( $x=0$ ),
$\Delta \theta _b$ à la sortie de l’échangeur ( $x=L$ ), ou l’inverse

Avec :

en co-courant, $\Delta \theta _a=\theta _{ec} - \theta _{ef}$ et $\Delta \theta _b=\theta _{sc} - \theta _{sf}$
en contre-courant, $\Delta \theta _a=\theta _{ec} - \theta _{sf}$ et $\Delta \theta _b=\theta _{sc} - \theta _{ef}$